Елена, надеюсь, противоклещевую обработку бергамота Вы уже провели (желательно и не одну). Она необходима даже при отсутствии листьев.
Но основная причина опада листьев и усыхания побегов и ветвей, полагаю, в другом...
Характерная симтоматика краевого и верхушечного некроза листовой пластинки уцелевших листьев, да ещё и хлороз, часто свидетельствуют о нарушении режима полива, а возможно, и передозировке удобрений. Страницей выше в этой же теме Надежда из Волгограда отмечает особую уязвимость этого цитруса от нарушений ухода - "Наверное особенность такая у бергамота, острее, чем другие цитрусы, реагировать на перекосы в питании и режиме полива." - здесь.
Последующая отсушка кончиков веточек, необязательно, но может быть вызвана и патогенной флорой, присущей любой почве, но проявляющейся обычно на ослабших растениях. В этом плане промывка корней и смена почвогрунта, возможны и даже обоснованы. Только не забывайте о соответствии объёма нового горшка корневой системе - шапка должна быть по Сеньке :D !
При хорошем освещении, качественном грунте и соблюдении режима умеренного полива цитрус с крепкими корнями имеет все шансы на поправку!
P.S. И никаких подкормок на ближайшие два месяца.